गैर-महत्वपूर्ण तर्कहीन अभिन्न अंग। अपरिमेय कार्यों के रूप में समाकलन। बंधनेवाला शॉट्स का एकीकरण

अपरिमेय कार्यों का वर्ग पहले से ही व्यापक है, इसलिए उन्हें सार्वभौमिक रूप से एकीकृत करने का कोई तरीका नहीं है। हम इस लेख में सबसे विशिष्ट और अतार्किक पिन्टिग्रल फ़ंक्शंस को देखने का प्रयास करेंगे और एकीकरण विधि को उनके सामने रखेंगे।

बुवायुत उतार-चढ़ाव, यदि अंतर के संकेत के तहत परिचय की विधि के लिए पुराना विजयी होता है। उदाहरण के लिए, गैर-महत्वपूर्ण अभिन्नों के ज्ञान को ध्यान में रखते हुए, डी पी- तर्कसंगत ड्रेब।

बट.

असंगति अभिन्न को जानो .

समाधान।

क्या याद रखना महत्वपूर्ण नहीं है. इसके अलावा, हम अंतर का चिह्न प्रस्तुत करते हैं और पहले वाले की तालिका जीतते हैं:

सुझाव:

.

13. भिन्नात्मक-रैखिक प्रतिस्थापन

प्रकार डी ए, बी, सी, डी के इंटीग्रल - वास्तविक संख्याएं, ए, बी, ..., डी, जी - प्राकृतिक संख्याएं, एक प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके एक तर्कसंगत फ़ंक्शन के रूप में इंटीग्रल में कम किया जा सकता है डी के - कम से कम महत्वपूर्ण भिन्नों में znamennik का गुणज

वास्तव में, प्रतिस्थापनों से आप यह देख सकते हैं

इसलिए x और dx को t जैसे तर्कसंगत कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। किस त्वचा चरण के साथ, अंश को टी के तर्कसंगत कार्य के माध्यम से घुमाया जाता है।

स्टॉक 33.4. अभिन्न को जानो

समाधान: भिन्न 2/3 और 1/2 є 6 में znamennik का सबसे छोटा गुणज।

इसलिए, यह महत्वपूर्ण है x + 2 = t 6, x = t 6 -2, dx = 6t 5 dt, ओत्ज़े,

स्टॉक 33.5.अभिन्नों के मान के लिए प्रतिस्थापन निर्दिष्ट करें:

समाधान: I 1 प्रतिस्थापन के लिए x = t 2 I 2 प्रतिस्थापन के लिए

14. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

उन्नत त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों की सहायता के लिए टाइप इंटीग्रल्स को कार्यों के इंटीग्रल्स तक लाया जाता है, जो तर्कसंगत रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों में निहित होते हैं: पहले इंटीग्रल के लिए x=a synt; दूसरे अभिन्न के लिए x=a tgt; तीसरे अभिन्न के लिए.

स्टॉक 33.6.अभिन्न को जानो

समाधान: मान लीजिए x \u003d 2 syn t, dx \u003d 2 cos tdt, t \u003d arcsin x / 2। टोडी

यहां इंटीग्रैंड फ़ंक्शन तर्कसंगत फ़ंक्शन कैसे x है रेडिकल के अंतर्गत नए वर्ग को देखने और प्रतिस्थापन करने के बाद, निर्दिष्ट प्रकार के इंटीग्रल्स को पहले जांचे गए प्रकार के इंटीग्रल्स में लाया जाता है, फिर प्रकार के इंटीग्रल्स में लाया जाता है इंटीग्रल्स का उपयोग विभिन्न त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों की सहायता के लिए किया जा सकता है।

स्टॉक 33.7.अभिन्न को जानो

समाधान: ओस्किल्की x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, फिर x+1=t, x=t-1, dx=dt. टॉम आइए इसे नीचे रखें

नोट: अभिन्न प्रकार प्रतिस्थापन की सहायता से x = 1/t को पूरी तरह से जानें।

15. गायन अभिन्न

चलो, फ़ंक्शन को पहले नए पर सेट किया गया है। खुदरा नाम अभिन्न गाओ मेरे द्वारा बताए गए vіdrіzku के अनुसार कार्य। ओत्ज़े,

फुटकर तो देखते ही लिखा जाता है . संख्याओं का नाम इंटरमियामी एकीकरण .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए सबसे पहले में से एक। टॉम

16 . यदि z एक स्थिर संख्या है और फ़ंक्शन ƒ(х) को एकीकृत किया गया है, तो

इसलिए निरंतर गुणक को सिंग इंटीग्रल के संकेत के लिए दोषी ठहराया जा सकता है।

▼हम फ़ंक्शन з ƒ(х) के लिए अभिन्न योग संग्रहीत करते हैं। मैमो:

तब यह स्पष्ट है कि फलन (x) [a; पर एकीकृत है; बी] मैं सूत्र (38.1) मान्य है।

2. चूंकि फ़ंक्शन 1 (x) और 2 (x) को [a; बी] भी [ए; पर एकीकृत है; बी] एक्स योग यू

ताकि एकीकरण एकीकरणों के योग के बराबर हो।

▼
▲

पावर 2 का विस्तार इस बात के योग पर होता है कि डोडानकिव की अंतिम संख्या है या नहीं।

3.

नियुक्ति के लिए किउ शक्ति ली जा सकती है। इस शक्ति की पुष्टि न्यूटन-लीबनिज सूत्र से भी होती है।

4. फ़ंक्शन (x) को [ए; पर कैसे एकीकृत किया गया है? बी] टा ए< с < b, то

ताकि संपूर्ण वाइंडिंग पर इंटीग्रल उस वाइंडिंग के हिस्सों के एकीकरण के योग से अधिक हो। शक्ति की शक्ति को सिंग इंटीग्रल की योगात्मकता (या योगात्मकता की शक्ति) कहा जाता है।

भाग पर विभाजन [ए; बी] को विभाजित करते समय, हम नीचे दिए गए अंकों की संख्या को शामिल करते हैं (विभाजन [ए; बी] को विभाजित करने की विधि के अनुसार इंटरइंटीग्रल योग की स्वतंत्रता के माध्यम से विस्तार करना संभव है भाग)। यदि s = x m, तो अभिन्न योग को दो योगों में विभाजित किया जा सकता है:

रकम लिखने से त्वचा і integraly vіdpovіdno vіdrіzkіv [а; बी ० ए; s] टा [s; बी]। अंतर-शेष समानता को n → ∞ (λ → 0) के रूप में पारित करते हुए, हम समानता (38.3) को हटा देते हैं।

यदि बिंदु a, b, h का विस्तार किया जाता है तो 4 की शक्ति अधिक उचित होती है (यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन ƒ (x) बड़ी वाइंडिंग पर एकीकृत हो, जो बाहर जाती है)।

तो, उदाहरण के लिए, जैसे< b < с, то

(विकोरिस्तानी डोमिनोस्टी 4 और 3)।

5. "माध्य के बारे में प्रमेय"। इसी तरह, फ़ंक्शन ƒ(x) विपरीत दिशा में निर्बाध है [a; बी], फिर इस्नुє पतला z є [ए; बी] ऐसा कि

▼न्यूटन-लीबनिज सूत्र के लिए, शायद

डी एफ "(एक्स) \u003d (एक्स)। अंतर एफ (बी) -एफ (ए) लैग्रेंज प्रमेय (कार्यों में अंतिम वृद्धि के बारे में प्रमेय) तक Zastosovuyuchi, हम लेते हैं

एफ (बी) -एफ (ए) \u003d एफ "(सी) (बी-ए) \u003d (सी) (बी-ए)। ▲

पावर 5 ("माध्य के बारे में प्रमेय") ƒ (x) ≥ 0 माє के साथ एक साधारण ज्यामितीय अंतर: सिंग इंटीग्रल का मूल्य अधिक महंगा है, є (ए; बी) के साथ एक डेकोम के साथ, एक आयत का वर्ग एक ऊंचाई ˒ (सी) और आधार बी-ए (विभा. छोटा 170)। संख्या

फ़ंक्शन का औसत मान कहा जाता है ƒ(x) विपरीत दिशा में [ए; बी]।

6. फ़ंक्शन (x) सबस्ट्रिंग पर चिह्न कैसे लेता है [a; बी], डी< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼"माध्य के बारे में प्रमेय" के अनुसार (शक्ति 5)

डी जेड є [ए; बी]। ओस्किल्की ƒ(х) ≥ 0 सभी के लिए х О [а; बी], फिर

ƒ(с)≥0, b-а>0.

इसीलिए ƒ(c) (b-a) ≥ 0, इसलिए। ▲

7. विपरीत दिशा में गैर-बाधित कार्यों के बीच गैर-एकरूपता [ए; बी ० ए

▼Oskіlki ƒ 2 (х)-˒ 1 (x)≥0, फिर a पर< b, согласно свойству 6, имеем

अबो, zgіdno z प्राधिकारी 2,

गौरतलब है कि असमानता में अंतर करना असंभव है।

8. अभिन्न का अनुमान. Yaxcho m और M - जाहिरा तौर पर सबसे कम और सबसे महत्वपूर्ण फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x) शीर्ष पर [a; बी ० ए< b), то

▼Oskіlki जो कुछ भी x є [a;b] शायद m≤ƒ(x)≤M के लिए, फिर, शक्ति 7 के लिए, शायद

Zastosovuyuchi शक्ति 5, otrimuemo के चरम अभिन्न अंग

▲

यदि ƒ(x)≥0, तो 8 की शक्ति को ज्यामितीय रूप से चित्रित किया गया है: घुमावदार ट्रेपेज़ियम का क्षेत्र आयतों के वर्गों के बीच रखा गया है, इनका आधार є है, और ऊंचाई को एम और एम द्वारा आकार दिया गया है (विभाग चित्र 171)।

9. रैखिक इंटीग्रल का मॉड्यूल इंटीग्रल फ़ंक्शन के मॉड्यूल में इंटीग्रल को स्थानांतरित नहीं करता है:

▼Zastosovuyuchi शक्ति 7 स्पष्ट अनियमितताओं के लिए -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, निश्चित रूप से

आगे देखिए क्या होता है

▲

10. पोखिडना सेवनोगो इंटीग्रल ऑन ज़मिन्नोमु अपर बोरिव्न्युє पिडिव्नियुє पिडिइंटेग्रेलिї ї, यकी ज़िन्नै इंटीग्रेवन्न्या ज़मेना त्सिउ इयु इत्तो।

आंकड़ों के क्षेत्रफल की गणना करना क्षेत्रफल सिद्धांत की सबसे सरल समस्याओं में से एक है। ज्यामिति के स्कूल पाठ्यक्रम में, हमने मुख्य ज्यामितीय स्थितियों के क्षेत्रों को जानना सीखा, उदाहरण के लिए, स्टेक, त्रिकुटनिक, रोम्बस तोशचू। हालाँकि, मोड़ने वाली आकृतियों के वर्गों की गणना पर टिके रहना अक्सर आवश्यक होता है। समान कार्यों के उल्लंघन के मामले में, इसे अभिन्न संख्या में लाया जाता है।

इस लेख में, हम वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना को देख सकते हैं, और आइए इसके ज्यामितीय अर्थ पर चलते हैं। Tse हमें रैखिक अभिन्न अंग और वक्ररेखीय ट्रेपेज़ियम के तल के बीच सीधा संबंध बनाने की अनुमति देता है।

चलो समारोह वाई = एफ(एक्स)हवा के लिए निर्बाध और चिह्न को नये में न बदलें (इसीलिए यह सकारात्मक नहीं है)। आकृति जी, रेखाओं से घिरा हुआ y = f(x), y = 0, x = aі एक्स = बी, नाम वक्ररेखीय समलंब. उल्लेखनीय रूप से क्षेत्र एस(जी).

आइए इस प्रकार वक्ररेखीय समलंब के क्षेत्रफल की गणना करने के कार्य पर आगे बढ़ें। रोज़डेली स्क्वेरिंग में आंकड़े ज़्यासुवल थे, कि घुमावदार ट्रेपेज़ियम एक वर्ग आकृति थी। यक्षो हवा तोड़ो पर एनआंशिक रूप से बिंदीदार मैं इंगित करता हूँ , और बिंदुओं को इस तरह से चुनें कि, फिर डार्बौक्स के निचले और ऊपरी योग को दर्शाने वाले आंकड़े दर्ज किए जा सकें पीऔर वॉल्यूमेट्रिक क्यूके लिए समृद्ध आकार की आकृतियाँ जी.

इस प्रकार और मात्रा में वृद्धि से कलह की स्थिति उत्पन्न हो जाती है एन, हम nerіvnostі पर आएंगे, डे-याक हमेशा एक छोटी सकारात्मक संख्या है, और एसі एस- इस rozbittya vіdrіzka के लिए निचला और ऊपरी सुमी दरबू . एक अन्य प्रविष्टि में . फिर, डार्बौक्स इंटीग्रल को समझने के लिए वापस जाने पर, हम ऐसा कर सकते हैं .

बराबर रहने का मतलब है कि अभिन्न एक सतत और अदृश्य कार्य के लिए है वाई = एफ(एक्स)є क्षेत्र के ज्यामितीय अर्थ में एक घुमावदार वक्ररेखीय समलंब है। आप किसके बारे में सोचते हैं? सिंग इंटीग्रल का ज्यामितीय परिवर्तन.

टोबटो ने गायन अभिन्न की गणना करने के बाद, हम रेखाओं से घिरे चित्र का क्षेत्र जानते हैं y = f(x), y = 0, x = aі एक्स = बी.

आदर करना।

क्या कार्य है वाई = एफ(एक्स) vіdrіzku पर सकारात्मक नहीं , तो वक्ररेखीय समलंब का क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है .

बट.

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें .

समाधान।

आइए समतल पर एक आकृति बनाएं: सीधी y=0 zbіgaєtsya z vіssu abscissa, सीधा x=-2і एक्स=3 y-अक्ष के समानांतर, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अतिरिक्त ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए वक्र को प्रेरित किया जा सकता है।

इस रैंक में, हमें वक्ररेखीय समलंब का क्षेत्रफल जानने की आवश्यकता है। सिंग इंटीग्रल का ज्यामितीय योग हमें उनके बारे में बताता है कि आवश्यक क्षेत्र सिंग इंटीग्रल द्वारा व्यक्त किया जाता है। ओत्ज़े, . संपूर्ण समाकलन की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

योजना:

1. सरलतम परिमेय भिन्नों का एकीकरण।
2. विभिन्न अपरिमेय कार्यों का एकीकरण.
3. सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन.

1. सरलतम परिमेय भिन्नों का एकीकरण

अनुमान लगाएं कि फ़ंक्शन का क्या अर्थ है P(x) = a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-1 x n + a nडे, ए ओ, ए 1 ... ए पी -स्थिर गुणांक, कहा जाता है अमीर सदस्य या तर्कसंगत कार्य . संख्या पीनाम एक अमीर सदस्य का कदम .

भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यएक फ़ंक्शन कहा जाता है, जो दो बहुपदों का एक अच्छा संबंध है, अर्थात। .

आइए भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में सबसे सरल अभिन्नों पर एक नज़र डालें:

1.1. मन में एकीकरण को समझना (ए - स्थिरांक) हम कुछ फोल्डिंग फ़ंक्शंस के रूप में इंटीग्रल्स का उपयोग करेंगे: =।

उदाहरण 20.1.अभिन्न खोजें.

समाधान।प्रेरित सूत्र के साथ गति = . हम उसे हटा देते हैं = .

1.2. मन में एकीकरण को समझना (ए - स्थिरांक) हम नए वर्ग का बैनर देखने का तरीका ठीक करेंगे. परिणाम का आउटपुट इंटीग्रल दो सारणीबद्ध इंटीग्रल में से एक में परिवर्तित हो जाता है: या .

आइए एक विशिष्ट एप्लिकेशन पर ऐसे इंटीग्रल्स की संख्या पर एक नज़र डालें।

उदाहरण 20.2.अभिन्न खोजें.

समाधान।आइए बैनरमैन, टोबटो में एक नया वर्ग देखने का प्रयास करें। सूत्र पर आओ (ए ± बी) 2 = ए 2 ± 2एबी + बी 2।

किसके लिए 4 एक्सटीवी 2∙2∙ के तोड़फोड़ के रूप में कल्पना की गई एक्स. ओत्ज़े, विराजू तक एक्स 2 + 4एक्सअगला वर्ग लेने के लिए, फिर संख्या दो का वर्ग जोड़ें। 4: एक्स 2 + 4एक्स + 4 = (एक्स + 2) 2 . एक्स + 2) 2 दिन 4. हम आक्रामक लैंसेट परिवर्तन को हटा देते हैं:

एक्स + 2 = іवही। कल्पना करना іі डीएक्सअभिन्न को घटाने पर: = = . सारणीबद्ध समाकलन के साथ गति बढ़ाना: , डे ए\u003d 3. चलो इसे बाहर निकालते हैं, क्या \u003d . आइए डिप्टी होने का नाटक करें іविराज एक्स+ 2:

सुझाव: = .

1.3. मन में एकीकरण को समझना (एम, एन - स्थिरांक) हम आक्रामक रोक देंगे कलन विधि :

1. हम बैनरमैन पर एक नया वर्ग देखते हैं।

2. विराज, जो मंदिरों में खड़ा है, काफी नया है टी।हम जानते हैं एक्स, डीएक्सऔर प्रतिनिधित्व योग्य їх एक ही बार में टीअभिन्न से बाहर निकलें टी).

3. दो अभिन्नों के योग से एक अभिन्न को घटाने की व्युत्पत्ति, जिसे एक साथ गिना जा सकता है: एक अभिन्न को प्रतिस्थापन विधि द्वारा तोड़ा जाता है, दूसरे को एक सूत्र में घटाया जाता है या .

उदाहरण 20.3.अभिन्न खोजें.

समाधान। 1. बैनरमैन पर नया वर्ग देखने का प्रयास करें . किसी के लिए 6 एक्सयह एक तोड़फोड़ 2 ∙ 3 ​​∙ जैसा दिखता है एक्स. विराजू तक चलो एक्स 2 - 6एक्सइसके बाद, संख्या तीन का वर्ग जोड़ें। 9 संख्या: एक्स 2 – 6एक्स + 9 = (एक्स - 3) 2 . अले, ताकि विराज बैनरमैन में न बदले, यह आवश्यक है ( एक्स- 3) 2 दिन 9

2. हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन प्रस्तुत करते हैं: चलो एक्स-3=टी(मतलब निकालना एक्स=टी+ 3), भी. कल्पना करना टी, एक्स, डीएक्सअभिन्न के लिए:

3. आइए अभिन्न को दो अभिन्नों के योग के रूप में लेने की कल्पना करें:

आइए इन्हें अच्छे से जानते हैं.

3.1 प्रथम समाकलन की गणना प्रतिस्थापन पथ द्वारा की जाती है। महत्वपूर्ण रूप से भिन्न का संकेत, आज। Zvіdsi। जमा करना іі डीटीसमग्र रूप से यह योगो को देखने के लिए प्रेरित करता है: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+सी.परिवर्तन के लिए बाईं ओर मुड़ें एक्स. ओस्सिल्की, फिर एलएन|टी2+16| + सी = लॉग | एक्स 2 - 6एक्स+25|+सी.

3.2 एक अन्य अभिन्न अंग की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (डे ए= 4). टोडी = =.

3.3 अंतिम समाकलन पैराग्राफ 3.1 और 3.2 में पाए गए समाकलन के योग के समान है: = एलएन | एक्स 2 - 6एक्स+25|+ .

सुझाव: =एलएन | एक्स 2 - 6एक्स+25|+ .

गणितीय विश्लेषण के नए पाठ्यक्रम में अन्य तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करने के तरीकों पर विचार किया जाता है (उदाहरण के लिए, पिस्मोवी डी.टी. सामान्य गणित पर व्याख्यान का सार, भाग 1 - एम।: एरिस-प्रेस, 2006)।

1. विभिन्न अपरिमेय कार्यों का एकीकरण.

आइए आक्रामक प्रकार के तर्कहीन कार्यों के रूप में गैर-तुच्छ अभिन्नों के महत्व को देखें: i ( ए, बी, सी - स्थिरांक)।їх znakhodzhennya vikoristovuvatimme के लिए अपरिमेय अभिव्यक्ति में पूर्ण वर्ग देखने की विधि। जिन अभिन्नों को देखा जाता है, उन्हें दृश्य में लाया जा सकता है: ,

आइए बट्स पर कुछ अपरिमेय कार्यों के रूप में एकीकरण के महत्व का विश्लेषण करें।

उदाहरण 20.4.अभिन्न खोजें.

समाधान।बैनरमैन पर नया वर्ग देखने का प्रयास करें . किसके लिए 2 एक्सयह टीवी 2 ∙ 1 ∙ का तोड़फोड़ जैसा प्रतीत होता है एक्स. विराजू तक चलो एक्स 2 +2एक्सइसके बाद एक का वर्ग जोड़ें ( एक्स 2 + 2एक्स + 1 = (एक्स + 1) 2) और विदन्यात 1. आइए लैंसेट परिवर्तन को दूर करें:

आइए प्रतिस्थापन के माध्यम से अभिन्न के विलोपन की गणना करें। आइए इसे नीचे रखें एक्स + 1 = іवही। कल्पना करना मैं, डीएक्स , डे ए\u003d 4. चलो इसे लेते हैं . आइए डिप्टी होने का नाटक करें іविराज एक्स+ 1:

सुझाव: = .

उदाहरण 20.5.अभिन्न खोजें.

समाधान।आइए मूल चिह्न के नीचे नए वर्ग को देखने का प्रयास करें . 8 किसके लिए एक्सयह सब-ट्विर 2∙4∙ जैसा लगता है एक्स. विराजू तक चलो एक्स 2 -8एक्सस्लाइड में वर्गाकार चोटिरियोक्स जोड़ें ( एक्स 2 - 8एक्स + 16 = (एक्स - 4)2)और योगाभ्यास करें। हम लैंसेट परिवर्तन को हटा देते हैं:

आइए प्रतिस्थापन के माध्यम से अभिन्न के विलोपन की गणना करें। आइए इसे नीचे रखें एक्स - 4 = іवही। कल्पना करना मैं, डीएक्सअभिन्न को घटाना: = . सारणीबद्ध समाकलन के साथ गति बढ़ाना: , डे ए\u003d 3. यह संभव है कि . आइए डिप्टी होने का नाटक करें іविराज एक्स- 4:

सुझाव: = .

1. सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन.

जिस फ़ंक्शन का बदला लिया जाना है उसके अभिन्न अंग की विसंगतियों को जानना आवश्यक है सिनक्सі cosx, याक पोव'याज़ाने केवल फोल्डिंग, वीडनिमन्या, गुणा या पोडेलू के संचालन से, आप जीत सकते हैं सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन .

प्रतिस्थापन का सार इस तथ्य में निहित है सिनक्सі cosxआधे कटे हुए स्पर्शरेखा के माध्यम से निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: , . फिर, यदि आप कोई प्रतिस्थापन दर्ज करना चाहते हैं सिनक्सі cosxके माध्यम से व्यक्त किया जाएगा टीआइए रैंक में आएं:,। घूमना भूल गया एक्सके माध्यम से टीमुझे पता है डीएक्स.

यक्षो कुछ। हम जानते हैं डीएक्स: = .

साथ ही सार्वभौम प्रतिस्थापन की स्थापना के लिए यह जानना ही पर्याप्त है सिनक्सі cosxके माध्यम से टी(फ़्रेम पर देखे गए सूत्र), और डीएक्सयाक लिखो. इंटीग्रल के चिह्न के तहत परिणाम एक तर्कसंगत फ़ंक्शन का दोषी है, जिसके एकीकरण पर पैराग्राफ 1 में विचार किया गया था। सार्वभौमिक प्रतिस्थापन को ठीक करने की विधि को कॉल करना पहले से ही बोझिल है, लेकिन आपको अभी भी इसे परिणाम में लाने की आवश्यकता है।

आइए सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के उदाहरण पर एक नज़र डालें।

उदाहरण 20.6.अभिन्न खोजें.

समाधान। Zastosuemo सार्वभौमिक प्रतिस्थापन, टोडी,, डीएक्स=. ओत्ज़े, = = = = = ., फिर लिया जाना ").

Іsnuє अवैयक्तिक अभिन्न अंग, याके कॉल " मत लो ऐसे अभिन्नों को हमारे ज्ञात प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक अभिन्न अंग लेना असंभव है, जिसका कोई प्राथमिक कार्य नहीं है, इससे भी बदतर यह है कि एक बुला बराबर होगा। पॉइसन अभिन्न और सैद्धांतिक संभावनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला।

Іsnuyt और इसमें महत्वपूर्ण "neberuchі" इंटीग्रल: - इंटीग्रैंड लॉगरिदम (संख्या सिद्धांत में अटका हुआ), यह - फ्रेस्नेल इंटीग्रल्स (भौतिकी में अटका हुआ)। उनके लिए, तर्क के विभिन्न मूल्यों के साथ एक रिपोर्ट तालिका संकलित की गई है एक्स.

पोषण पर नियंत्रण रखें:

प्रपत्र के समाकलन (एम 1, एन 1, एम 2, एन 2, ... - संख्याएँ)। इन अभिन्नों में, पिडिन्टेग्रल फ़ंक्शन तर्कसंगत है और प्रजातियों में मूलांक का परिवर्तनशील एकीकरण है। बदबू की गणना प्रतिस्थापन x \u003d t s द्वारा की जाती है, जहाँ s अंशों का सुनहरा बैनर है, ... परिवर्तन के ऐसे प्रतिस्थापन के साथ, सभी नीले = r 1, = r 2 ... t:

प्रपत्र के समाकलन (एम 1, एन 1, एम 2, एन 2, ... - संख्याएँ)। संख्याओं को उपसमुच्चय के साथ एकीकृत किया गया था:

डी एस शॉट्स का एक जलता हुआ बैनर है, ..., जिसे परिवर्तन टी के तर्कसंगत कार्य में कम किया जाना है।

फॉर्म के इंटीग्रल इंटीग्रल I 1 की गणना के लिए, मूलांक के चिह्न के नीचे अंतिम वर्ग को देखा जाता है:

और प्रतिस्थापन रोकें:

परिणामस्वरूप, यह अभिन्न अंग एक सारणीबद्ध रूप में कम हो गया है:

इंटीग्रल I 2 का अंश विभेदक विराजु को देखता है, जो रेडिकल के चिह्न के नीचे खड़ा होता है, और यह इंटीग्रल दो इंटीग्रल्स के योग द्वारा दर्शाया जाता है:

डी आई 1 - अभिन्न से अधिक गणना।

अभिन्न I 3 की गणना को प्रतिस्थापन द्वारा अभिन्न I 1 की गणना में घटा दिया गया है:

मन का अभिन्न अंग उसी मन के एकीकरण की गणना के निजी विचारों का परीक्षण अग्रबिंदु पर किया जाता है। Іsnuє kіlka rіznіh priyomіv їkh kol'ka। आइए इन दृष्टिकोणों में से एक पर नजर डालें, निश्चित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों की नींव।

वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c कुल वर्ग को देखने और परिवर्तनशील को प्रतिस्थापित करने के मार्ग के साथ मन में विचार आ सकते हैं।

इंटीग्रल सबस्टेशन

u=ksint (या u=k लागत)

सिंट और लागत जैसे तर्कसंगत कार्यों के एक अभिन्न अंग तक कम किया जा सकता है।

फॉर्म के इंटीग्रल (एम, एन, पी є क्यू, ए, बी є आर)। जांचे गए अभिन्न, जिन्हें विभेदक द्विपद के संदर्भ में अभिन्न कहा जाता है, केवल अगले तीन चरणों में प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं:

1) यदि p є Z, तो प्रतिस्थापन निश्चित है:

डी एस - शॉट्स एम और एन के ज़ागल्नी बैनर;

2) यदि Z, तो प्रतिस्थापन जीतता है:

डे एस - बैनर शॉट

3) यदि Z, तो प्रतिस्थापन तय किया जाएगा:

डे एस - बैनर शॉट

नियुक्ति 1

वर्तमान समकक्ष को सौंपे गए सभी प्राथमिक दिए गए फ़ंक्शन $ y = f (x) $ की समग्रता को दिए गए फ़ंक्शन $ y = f (x) $ का गैर-महत्वपूर्ण अभिन्न अंग कहा जाता है। गैर-मूल्य अभिन्न को प्रतीक $\int f(x)dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।

आदर

विज़न 2 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\int f(x)dx = F(x)+C.\]

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कार्य कितने अतार्किक हैं, प्राथमिक कार्यों के माध्यम से अभिन्न को हल करना संभव है। हालाँकि, अतिरिक्त सबस्टेशनों के लिए ऐसे अधिकांश इंटीग्रल्स को तर्कसंगत कार्यों के इंटीग्रल्स में कम किया जा सकता है, क्योंकि प्राथमिक कार्यों के माध्यम से इंटीग्रल को उलटा करना संभव है।

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \दाएं)^(r/s) \दाएं)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

मैं

जब इंटीग्रल को $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ के रूप में जाना जाता है, तो निम्नलिखित प्रतिस्थापन का उपयोग करना आवश्यक है:

Tsіy pіdstanovtsі kozhenshotovіnі stupі ї zminnoї $x$ vrajaєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєє єєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєєє परिणाम में, अभिन्न फलन परिवर्तन $t$ के रूप में एक तर्कसंगत फलन में बदल जाता है।

बट 1

विकोनाती एकीकरण:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

समाधान:

$k=4$ - भिन्नों का ज्वलंत बैनर $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) ( t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) ) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^ (3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 | +सी) \अंत(सरणी)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

द्वितीय

यदि समाकल $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) रूप का है (ax+) b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $

जहां $k$ भिन्न $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ का ध्वज है।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन परिवर्तन $t$ के रूप में एक तर्कसंगत फ़ंक्शन में बदल जाता है।

बट 2

विकोनाती एकीकरण:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

समाधान:

आइए यह प्रतिस्थापन करें:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 + \frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left | \frac(t-2)(t+2) \दाएं|+C\]

उत्क्रमण पूरा करने के बाद, हम शेष परिणाम निकाल लेते हैं:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

तृतीय

जब इंटीग्रल को $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ के रूप में जाना जाता है, तो यूलर प्रतिस्थापन को ऐसा कहा जाता है (तीन संभावित प्रतिस्थापनों में से एक विजयी होता है)।

यूलर का पहला प्रतिस्थापन

विपाडु $a> के लिए

$\sqrt(a) $ से पहले "+" चिन्ह लेते हुए, हम लेते हैं

बट 3

विकोनाती एकीकरण:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

समाधान:

मैं एक प्रतिस्थापन के साथ आने जा रहा हूँ (vipadok $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ ) (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+ सी\]

उत्क्रमण पूरा करने के बाद, हम शेष परिणाम निकाल लेते हैं:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

यूलर का अन्य प्रतिस्थापन

$c>0$ प्रतिस्थापन के लिए निम्नलिखित प्रतिस्थापन का उपयोग करना आवश्यक है:

$\sqrt(c) $ से पहले "+" चिन्ह लेते हुए, हम लेते हैं

बट 4

विकोनाती एकीकरण:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

समाधान:

आइए यह प्रतिस्थापन करें:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ [\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ हम अवशिष्ट लेते हैं परिणाम:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1) ) +x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+) x +x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \ अंत(सरणी)\]

यूलर का तीसरा प्रतिस्थापन

अपरिमेय कार्यों (मूलों) को एकीकृत करने की मुख्य विधियाँ दी गई हैं। इनमें शामिल हैं: शॉट-रैखिक अतार्किकता का एकीकरण, विभेदक द्विपद, एक वर्ग त्रिपद के वर्गमूल के साथ एकीकरण। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन और यूलर प्रतिस्थापन पेश किए गए हैं। कुछ अण्डाकार अभिन्नों की जांच की जाती है, जो प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं।

ज़मिस्ट

विभेदक द्विपद के रूप में समाकलन

विभेदक द्विपद के रूप में समाकलन इस प्रकार दिख सकते हैं:
,
डी एम, एन, पी तर्कसंगत संख्याएं हैं, ए, बी काल्पनिक संख्याएं हैं।
ऐसे समाकलन को तीन मामलों में तर्कसंगत कार्यों के समाकलन में बदल दिया जाता है।

1) पी-सेल की तरह। प्रतिस्थापन x = t N de N - भिन्नों का zagalny znamennik m और n।
2) यक्षो - संपूर्ण। प्रतिस्थापन a x n + b = t M de M संख्या p का मानक है।
3) यक्षो - संपूर्ण। प्रतिस्थापन a + b x - n = t M de M मानक संख्या p है।

अन्य तरीकों से, ऐसे अभिन्नों को प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

दूसरे शब्दों में, अभिन्नों से अतिरिक्त सूत्र मांगे जा सकते हैं:
;
.

एक वर्ग त्रिपद का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए समाकलन

तो एकीकृत इस तरह दिख सकता है:
,
de R एक परिमेय फलन है। ऐसी त्वचा के अभिन्न अंग के लिए, रोज़व्याज़न्न्या की कुछ विधियाँ हैं।
1) मदद के लिए, परिवर्तन को और अधिक सरल इंटीग्रल में लाएं।
2) त्रिकोणमितीय अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन बनाएं।
3) यूलर के प्रतिस्थापनों का सारांश।

आइए इन तरीकों और रिपोर्टों पर एक नजर डालते हैं।

1) इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का पुनः कार्य करना

Zastosovuyuchi सूत्र और vikonuyuchi बीजगणितीय परिवर्तन, प्रपत्र में एकीकृत कार्य को प्रेरित किया:
,
डे? (एक्स),? (एक्स) - तर्कसंगत कार्य।

मैं अंकित करता हुँ

अभिन्न मन:
,
डी पी एन (एक्स) - चरण एन का समृद्ध पद।

इस तरह के एकीकरण गैर-महत्वहीन गुणांक, विकोरिस्ट समग्रता की विधि द्वारा किए गए थे:

.
लक्ष्य का विभेदन और भाग के बाएँ और दाएँ की बराबरी, हम गुणांक A i जानते हैं।

द्वितीय प्रकार

अभिन्न मन:
,
de P m (x) चरण m का एक समृद्ध पद है।

प्रतिस्थापन टी = (एक्स - α) -1यह अभिन्न अंग आगे के प्रकार के लिए प्रेरित है। यदि m ≥ n, तो भिन्न का एक ही भाग होता है।

तृतीय प्रकार

यहां हम रोबिमो प्रतिस्थापन करते हैं:
.
यदि मैं भविष्य में अभिन्न को देखूं:
.
दूरियाँ स्थिरांक α, β इस प्रकार चुनी जानी चाहिए कि t पर गुणांक वापस शून्य हो जाएँ:
बी=0, बी1=0.
तो अभिन्न को दो प्रजातियों के अभिन्नों के योग में विभाजित किया गया है:
,
,
सबस्टेशनों के साथ एकीकरण कैसे करें:
यू 2 = ए 1 टी 2 + सी 1,
वी 2 = ए 1 + सी 1 टी -2।

2) त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन

मन में अभिन्न के लिए, ए > 0 ,
तीन मुख्य प्रतिस्थापन हो सकते हैं:
;
;
;

इंटीग्रल के लिए, ए > 0 ,
शायद इसलिए प्रतिस्थापन:
;
;
;

І, नरेश्ती, इटेग्रेव के लिए, ए > 0 ,
पैर परिवर्तन:
;
;
;

3) यूलर प्रतिस्थापन

इसके अलावा, इंटीग्रल्स को तीन यूलर प्रतिस्थापनों में से एक के तर्कसंगत कार्यों के रूप में इंटीग्रल्स में घटाया जा सकता है:
, एक > 0 के लिए;
सी > 0 के लिए;
डी एक्स 1 - बराबर मूल ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0।

एलिप्टिक इंटीग्रल

उदाहरण के लिए, हमने मन के एकीकरण को देखा:
,
de R एक परिमेय फलन है। ऐसे अभिन्नों को अण्डाकार कहा जाता है। बदबू प्राथमिक कार्यों के माध्यम से दिखाई नहीं देती है। यदि गुणांक ए, बी, सी, डी, ई के बीच कोई सहसंबंध है, तो उलटा देखा जाता है, जिसमें ऐसे अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किए जा सकते हैं।

बट को नीचे की ओर नुकीला किया गया है, जो घूमने वाले सींगों से बंधा हुआ है। अतिरिक्त प्रतिस्थापनों के लिए समान अभिन्नों की गणना की जाती है:
.

बट

अभिन्न की गणना करें:
.

हम एक प्रतिस्थापन पर काम कर रहे हैं.

.
यहाँ x > के लिए 0 (यू > 0 ) ऊपरी '+' चिह्न लें। एक्स के लिए< 0 (यू< 0 ) - निचला '- '।

.

विकोरिस्तान साहित्य:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, गणित के प्रमुखों का संग्रह, "लैन", 2003।

प्रभाग. भी: